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Resolver problemas mediante razonamiento lógico visual

Un esfuerzo del formador por facilitar una materia, tiene un efecto de apalancamiento sobre su número de alumnos. Un pequeño esfuerzo de un formador facilitando el material ahorra mucho esfuerzo en sus alumnos. Es una inversión que cualquier formador debería realizar, iterar sobre su material para explorar nuevas formas de mostrarlo, evitando barreras, modelándolo desde distintas perspectivas para acomodarlo a cada uno de los alumnos, descomponerlo en más piezas, obtener su esencia, detectar patrones que se repitan, generalizar, abstraer, etc.

Desde nuestro blog nos encanta recibir a gente que intenta y consigue lo anterior. Y todavía más si incide en una de las especializaciones de este blog, el aprendizaje visual.

Es el caso del invitado que tenemos el placer de tener hoy con nosotros, se trata de Marcos Bautista López Aznar.

Se licenció en Filosofía y ciencias de la Educación por la Universidad Complutense de Madrid en 1995 y en Psicología por la UNED en el año 2013, siendo premiado su expediente por la empresa Atlantic Cooper. Desde el año 2016 es miembro de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia de España y es funcionario del cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Marcos Bautista ha desarrollado un método visual basados en el diagrama de Marlo para enseñar cómo resolver problemas de razonamiento lógico de forma visual. Exáctamente son problemas basados en silogismos. ¿No sabes lo que son los silogismos? Pues ahora te lo cuenta Marcos.

¿Qué es el diagrama de Marlo?

La lógica es una asignatura tradicionalmente difícil de aprobar. Sin embargo, el Diagrama de Marlo convierte lo abstracto en tangible y hace posible que los alumnos puedan captar visualmente los pasos que tiene dar el pensamiento cuando razona. Apoyar el razonamiento en imágenes me ha permitido alcanzar un 90% de aprobados en una materia en la que antes apenas la mitad de mis estudiantes superaba los exámenes.

Primero, porque el hecho de pensar con imágenes, que actúan como un dispositivo de memoria externa, corrige los errores más habituales del razonamiento, como las conocidas falacias de la afirmación del consecuente y de la negación del antecedente: una pesadilla para profesores de filosofía y matemáticas.

Segundo, porque al elaborar el diagrama se han ha puesto de manifiesto principios elementales del razonamiento que históricamente habían pasado desapercibidos incluso para Aristóteles. Y evidenciar dichos principios y reglas permite generar herramientas para enseñar a razonar que resultan naturales e intuitivas.

Hasta ahora, los instrumentos con los que enseñamos a razonar en las aulas son complejos, artificiales y abstractos, siendo en mi opinión, mucho más responsables de los malos resultados los métodos de enseñanza que las capacidades de nuestros alumnos.

Como diría Descartes, todos los estudiantes están igualmente dotados de razón y, con la didáctica adecuada, ninguno que preste atención debería descarrilar en sus razonamientos, del mismo modo que ningún conductor prudente se sale de una carretera debidamente señalizada. Los diagramas de Venn son complejos en los problemas complejos, están limitados en el número de variables que pueden manejar y no reflejan realmente los procesos cognitivos que operan al razonar: hay que cambiar el concepto de estar incluido en por el de estar asociado con.

¿Qué son los modelos proposicionales?

Los modelos proposicionales que propone el diagrama expresan las asociaciones de las variables que explícitamente son enunciadas, pero también las implícitas. En la siguiente imagen podemos ver como la proposición alguna A es B enuncia que es seguro que una parte de A se asocia con B (ab), pero deja abierta la posibilidad de que una parte de A se asocie con no B (a¬b?), al mismo tiempo que al margen de A deja abierta la posibilidad de que una parte de B se asocie con no A (b¬a?). Luego volveremos a ello.

FIGURA 0

Modelo proposicional particular-particular

Enseñar los principios del razonamiento es enseñar sentido crítico.

Los modelos proposicionales nos permiten considerar todas las posibilidades desde todos los puntos de vista, lo cual libera nuestra mente de procesos típicamente rígidos y sesgados y facilita la apertura a nuevos puntos de vista, algo esencial en los procesos creativos.

El diagrama de Marlo es producto de años de investigación teórica y práctica en el aula y fomenta el desarrollo de procesos asociados a la inteligencia lógico-matemática implicados en la representación y resolución gráfica de inferencias a partir de premisas. Eso es informalmente lo que hacemos siempre que razonamos en la vida cotidiana y formalmente siempre que resolvemos un silogismo, lógica de proposiciones o lógica de predicados en el aula.

¿Qué es un silogismo?

Un silogismo permite pasar de dos premisas a una conclusión gracias al término medio, es decir, gracias a un término que se repite y que permite enlazar la información contenida en ambas premisas en una conclusión que debe ser formalmente verdadera.

Por ejemplo, si afirmo que todos los elefantes vuelan y que todo lo que vuela tiene branquias, puedo llegar a la conclusión de que todos los elefantes tienen branquias. No importa que los elefantes no vuelen realmente, ni importa que los seres que vuelan no tengan, de hecho, branquias. Lo que nos interesa al razonar son las estructuras formales que permiten la síntesis y el análisis de la información que comunican las premisas. En este caso, la mente hila y enlaza elefantes con branquias porque ambos han sido asociados a través del término medio volar.

Si ahora afirmo que mi vecino está casado y que el presidente de mi comunidad está soltero, pueden concluir que, al menos en teoría, mi vecino no es el presidente de mi comunidad. Ahora su mente ha procedido a separar vecino y presidente porque ambos se asocian respectivamente con términos mutuamente excluyentes: vecino con casado y presidente con soltero.

En el silogismo de los elefantes operamos en base al principio de identidad.

En el silogismo del vecino por el principio de no contradicción. Estos ejemplos deberían resultarles sencillos de comprender. Sin embargo, hay razonamientos más complejos que no son resueltos correctamente por la mayoría de los estudiantes.

Supongamos que afirmo que todas las personas con anorexia están extremadamente delgadas y afirmo que mi vecina está extremadamente delgada: ¿tiene anorexia mi vecina?

Supongan que afirmo que ningún marciano habla klup y afirmo que algunos seres con antenas hablan Klup, ¿cuál de las siguientes afirmaciones sería verdadera?:
a) Algunos marcianos no tienen antenas.
b) Algunos con antenas no son marcianos.
c) Las dos anteriores son ciertas.

Las respuestas formalmente correctas son: primero, que no podemos concluir que mi vecina tenga anorexia; segundo, que es seguro que parte de los que tienen antenas no son marcianos, a pesar de que todos los marcianos podrían tener antenas.

La importancia del razonamiento o plasmar la lógica de forma visual

Muchos de mis alumnos se equivocan al solucionar estos silogismos, hasta que aprenden a formalizar gráficamente las premisas y a operar mediante síntesis y análisis aplicando los principios de distinción e incertidumbre. Lo interesante es, como he podido comprobar trabajando con profesores de matemáticas de mi centro, que aprenden a corregir estos errores a la vez que se enciende en ellos un interruptor de sentido crítico.

Para llegar a la conclusión correcta la mente debe contar con la información implícita en las premisas y debe hacerlo además en dos direcciones distintas. Por ejemplo, hay que caer en el primer ejemplo en que es posible suponer mujeres delgadas sin anorexia, aunque no podamos suponer mujeres con anorexia que no estén delgadas. La información implícita suele exceder la capacidad de nuestra memoria de trabajo, mucho más cuando las relaciones entre los términos no son recíprocas. Por eso, al formalizar las premisas en el diagrama representamos lo que se dice y lo que no se dice pero que podemos suponer.

Diferenciar posibilidades explícitamente confirmadas o prohibidas y posibilidades implícitamente permitidas que no pasan de ser conjeturas, es algo en lo que no estamos educando, cuando tal distinción está en la verdadera base de todo razonamiento. Sin el desarrollo de esta competencia es imposible producir o comprender mensajes inteligentes: ¿qué matices exactos de relación me está transmitiendo un texto?

El diagrama de Marlo enseña a pensar correctamente y debería ser enseñado de forma progresiva desde etapas tempranas del sistema educativo.

¿Cómo representar el diagrama de Marlo?

Al formalizar las premisas en el diagrama de Marlo representamos en un círculo la asociación del sujeto y del predicado, poniendo el sujeto en el centro y el predicado debajo. En nuestro lenguaje existen diversos conectores que comunican distintas estructuras en los modelos proposicionales. Y es la captación de dichas estructuras lo que permite la comunicación entre seres racionales. Por ejemplo, si afirmo que los canes son lo mismo que los perros, y sustituye can por C y perro por P puedo expresarlo al menos de dos modos, tal como muestra la figura 1:

FIGURA 1Modelo bicondicional o equivalencia

En el primer modelo de la figura del bicondicional observamos que el sujeto es perros y por eso la P está en el centro, porque hablamos del conjunto de los perros. Y hay una C como predicado que afecta a todo el conjunto de P. El modelo de la derecha resulta de convertir la proposición, modificando las funciones de sujeto y predicado.

Ahora supongamos que un extraterrestre, sin ningún conocimiento previo sobre los perros, observa varios perros en nuestro planeta y ve que tienen garrapatas. ¿Cómo codificaría sus conocimientos sobre perros y garrapatas?

FIGURA 2Modelo particular-particular

Lo analizamos paso a paso

Vamos a analizar el primer modelo de la proposición.

Hay perros con garrapatas y lo haremos en primer lugar desde la perspectiva de P. Lo primero que observamos es que el conjunto de los perros ha quedado dividido en dos partes. En una aparece una G de garrapata afirmada con certeza: es seguro que parte de los perros tienen garrapatas. Pero en la parte superior del círculo de P aparece una interrogación que debe interpretarse como que es posible suponer perros sin garrapatas, siendo algo que podría ser o no ser. En el extraterrestre, en el explorador o el niño, la incertidumbre es un elemento constitutivo que mantiene la mente abierta durante el razonamiento. Al margen de este primer modelo de P aparece G? representando la posibilidad de que hubiera garrapatas al margen de los perros.

Analicemos en la figura lo afirmado desde la perspectiva de las garrapatas, de G: es seguro que parte de las garrapatas son tenidas por los perros, y por eso aparece una P en la parte inferior del conjunto de G. Pero se reserva una parte de G interrogada, porque podrían aparecer garrapatas al margen de los perros. Igualmente, al margen de las garrapatas, aparece una P? que representa la conjetura o posibilidad aún incierta para el extraterrestre de que haya perros sin garrapatas.

Hasta ahora, en la escuela, las herramientas con las que enseñamos no tienen en cuenta esas posibilidades inciertas. Cuando en un problema decimos que parte de las personas leen el periódico damos por supuesto que es seguro que la otra parte no lo lee. Sin embargo, una mente creativa orientada hacia los procesos de descubrimiento debe acostumbrarse a lo incierto como posibilidad, y, de hecho, a mi compañero Juan, profesor de matemáticas, es el potencial de estas interrogaciones para abrir la mente lo que más le fascina del diagrama.

A mí, como profesor y psicólogo, me entusiasman igualmente las capacidades que se desarrollan al formalizar y convertir los modelos cambiando de perspectiva: Apertura mental frente a modelos cerrados que no cuentan con lo posible; flexibilidad frente a modelos rígidos; orden al traspasar variables, repasos…

FIGURA 3

Conversión de modelos

Reto al lector a convertir los siguientes modelos de modo que se sigan afirmando exactamente las mismas relaciones y con el mismo grado de certeza o seguridad. Vea cuántos tipos de cosas hay y mantenga ese número al convertir. Por ejemplo, en el modelo de la bicondicional había sólo un tipo de cosas: PC; o lo que es lo mismo: CP. Ahora debemos situarnos en el contexto de los descubrimientos de un astronauta en un planeta inexplorado. Señale el modelo equivalente a su primera afirmación. Intente pensar cuántos tipos de cada objeto aparecen en el primer modelo para no mentir en el segundo.Conversión de modelos

Los modelos correctos son d, a y c, pero no se preocupe si falló, porque todo necesita práctica y tenemos que aprender el significado de los códigos visuales del mismo modo que tuvimos que aprender a diferenciar la p de la d cuando éramos pequeños: ¿fue fácil? La clave está en la práctica y la constancia.

Una vez que sabemos formalizar y convertir podemos realizar inferencias por síntesis y análisis.

Silogismos resueltos por síntesis y análisis

El primer modo por el que nuestra mente puede realizar una inferencia partiendo de dos premisas es mediante la síntesis, aplicando el principio de identidad.

Si decimos a un niño que todos los homínidos son primates y que todos los homínidos son bípedos: ¿a qué conclusiones tendría que llegar?

FIGURA 4Silogismo resuelto por síntesis

En la primera fila hemos representado los modelos de las proposiciones expresando las posibilidades inciertas para el niño de primates y bípedos que podrían no ser homínidos. Nos referimos a P? y B? al margen de los modelos de H.

En la fila dos hemos procedido a la síntesis en el modelo central que tiene como sujeto a H. Nos vemos obligados a asociar en dicho modelo a primates con bípedos (PB), pero quedan posibilidades P? y B? al margen de H inciertas y sin asociar. Si no considera esas posibilidades al margen, el niño concluiría erróneamente que todos los primates son bípedos, pues sólo habría en su conclusión PB, quedando así P siempre asociada con B.
P? y B? nos advierten de la limitación de nuestras conclusiones y previenen, como ya dijimos, las falacias más habituales. El hecho de señalar con letras todas las posibilidades explícitas e implícitas a tener en cuenta multiplica el rendimiento lógico de los alumnos de forma espectacular, porque es precisamente una limitación en su memoria de trabajo y no en su capacidad de razonar lo que hace que se equivoquen en las conclusiones generalizando más de lo que deben. Señalando de forma tangible todas las posibilidades el error desaparece.

El segundo de modo de alcanzar conclusiones seguras es captar asociaciones imposibles entre variables, aplicando el principio de no contradicción.

Diremos que ser A y no ser A (¬A) son excluyentes, siendo inadmisible unir en un mismo objeto las cualidades A y ¬A. Por ejemplo, no se puede estar casado y no estar casado al mismo tiempo y en el mismo sentido, siendo del todo absurdo afirmar de una misma persona que C y ¬C.

La competencia asociada a advertir relaciones imposibles no ha sido nunca desarrollada en el aula, lo cual supone un anquilosamiento de nuestra inteligencia. Sin embargo, trabajarla con los diagramas permite enseñar a mirar ordenadamente hilando con los movimientos oculares las conclusiones correctas. Es fascinante comprobar que basta enseñar a coordinar la señal del dedo con la mirada y la palabra para mejorar la competencia lógica de nuestros alumnos, en lugar de empeñarnos en una didáctica de las abstracciones: La razón no se enseña, se enseña a razonar ordenadamente.

Problema de lógica avanzado con exclusión parcial

Veamos el siguiente problema de dificultad muy elevada. Toda A es B; Ninguna C es A. ¿Qué pueden decir sobre las relaciones entre B y C? Traten de responder a ello mentalmente. ¿Creen que C no es B? ¿Están seguros de sus conclusiones? Si representamos en el diagrama de Marlo las premisas podemos tratar de capar las relaciones imposibles. Observemos los modelos.

FIGURA 5.jpg

Exclusión parcial

En la primera fila hemos representado las premisas. El modelo Ninguna C es A se expresa como todo lo asociado con C es ¬A. Por eso aparece ¬A como predicado dentro de C, aunque también queda abierta la posibilidad de ser no A al margen de C y es por eso que aparece ¬A? fuera del círculo.

En la fila 2 hemos convertido toda A es B en sólo B es A. Para buscar relaciones imposibles es mejor que pongamos como predicado al término medio excluyente, de manera que resulte más fácil observar si la totalidad o solo parte de las variables se excluyen.

En la fila 3 se hace evidente que una parte de B (la asociada con A) no puede unirse con C (asociado con ¬A), y por eso concluimos en la fila 5 por exclusión que Alguna B no es C. Desde la perspectiva de C podemos ver que no puede asociarse con parte de B, pero ya no encontramos una imposibilidad absoluta de que C se asocie con B.

Sin embargo, no podemos afirmar que C no sea B, tal y como tratamos de mostrar en 4. Las posibilidades de asociación se resaltan en color verde. Vemos que es posible que parte de B y parte de C se asocien. Luego parte de B podría ser C e incluso toda C podría ser B, asociándose con la B que podría ser ¬A y que está definida con una interrogación.

¿Te ha parecido todo esto complicado?

Si los problemas a los que se han enfrentado en este breve artículo les han resultado complicados, imaginen tener que hacerlo sin ningún tipo de apoyo visual. Nuestros alumnos se enfrentan a la tarea de tener que razonar a oscuras. El diagrama de Marlo podría ser la solución, una innovación nacida en el aula que puede ayudar a desarrollar la inteligencia lógica desde edades tempranas. Sin embargo y desgraciadamente, también en el campo de la razón los contenidos están sometidos a la tradición y la autoridad, por lo que no será fácil implantarla de modo oficial en la escuela.

Fue en el libro Cálculo lógico de modelos proposicionales, la revolución del silogismo en el diagrama de Marlo, donde puse de manifiesto por primera vez principios evidentes del razonamiento históricamente desapercibidos y que a buen seguro, algún día tendrán que sustituir a las reglas complejas, artificiales y abstractas de la lógica clásica.

Si están interesados en profundizar en el tema tienen a su disposición el curso completo en Youtube Lógica fácil con el diagrama de Marlo, con explicaciones y ejercicios al final de cada capítulo para que puedan practicar y consolidar lo aprendido. Os dejo el enlace al primer capítulo.

También pueden visitar mi página diagramademarlo, en la que he tratado de reunir toda la información disponible acerca de este nuevo enfoque de la lógica y su didáctica. Si navegan por su menú encontrarán más vídeos, explicaciones más completas y acceso a las publicaciones.

Cómo resolver juegos de lógica con esta técnica visual

A continuación te dejamos con varios juegos donde puedes probar a resolverlos aplicando esta técnica visual.

Este es un juego mental sobre la tarea de selección de Wason que sólo resuelve un 3% de las personas.

 

Otro juego mental donde poner en práctica las relaciones imposibles, esos detalles que se nos escapan al realizar algunos juegos de razonamiento.

Más juegos donde entrenar y practicar nuestra lógica y razonamiento de una forma visual:

Bibliografía

López Aznar, M. B. (2016). Innovación didáctica de la lógica: el Diagrama de Marlo. En Rutas didácticas y de investigación en lógica, argumentación y pensamiento crítico. Mijangos Martínez, Teresita (coord.); México: Academia Mexicana de la Lógica AC. Libro electrónico.

López-Aznar, M. B. (5-7 de Noviembre de 2014). Lógica de predicados en el diagrama de Marlo, cuando razonar se convierte en un juego de niños; en GARCÍA NORRO,J.J.; INGALA GÓMEZ, E.; ORDEN JIMÉNEZ, R.F. (coords.). Diotima o de la dificultad de enseñar filosofía. Madrid: Escolar y Mayo, 2016. pp 335-356

López-Aznar, M. B. Estructura formal de los sistemas de creencias desde el diagrama de Marlo. ESTYLF 2016. XVIII Congreso Español sobre tecnologías y Lógicas fuzzy. Libro de resúmenes. Donostia-San Sebastián. (25-27 de Mayo de 2016). pp. 108 a 109.

López-aznar, M. B. (2015). Adiós a bArbArA y Venn. Lógica de predicados en el diagrama. Paideia. Revista de Filosofía y didáctica filosófica(102), 35-52.

López-Aznar, M. B. (2014). Cálculo lógico de modelos proposicionales: la revolución del silogismo en el Diagrama de Marlo. Pamplona: Círculo Rojo.

Escrito por Natalia y Marcos

Marcos y Natalia se dedican a enseñar otras formas de aprender mucho más creativas y visuales que las que nos enseñaron en la escuela. Además también ayudan a otros padres a desarrollar el potencial de sus hijos y sus inteligencias múltiples mediante juegos con su otro proyecto juegayestimula.com

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